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这个时空里两点之间线段最长

我们现在就先来回忆一下两点之间的距离该如何计算吧,这个应该初中就会讲到,但是用到的是小学生就会的勾股定理。大家可以看一下下面这个图,在一个直角坐标系里面,蓝点到原点的距离就等于蓝点的横坐标x的平方加纵坐标y的平方再开方。这个斜边的长度,一定是小于两个直角边之和的。

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在2维的坐标是这样子,其实很容易就可以推广到3维坐标系,也就是3维空间中任意一点的到原点的距离都可以通过下面这个图的方式计算得到。所以,我们很自然地就会继续去想,既然3维空间可以这么计算,是不是在4维时空中也可以这样推广下去呢?如果这样的话,那么即使在4维时空中也一定是两点之间线段最短,不可能有出错。

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也就是说,如果相对论是对的话,那么在4维时空中计算两点之间的距离一定不是用勾股定理做一个简单的推广就可以得到。一定有什么其他的规律,那这个规律又能是什么呢?我们肯定不可能乱猜,其中一定有什么东西可以帮我们找到答案。那又如何寻找规律呢?我可以提供一个思路,那就是先看看,按照勾股定理去考虑4维时空中的距离,看看问题会出现在哪里。如果能找到问题的根源,那么我们是不是只要把这个问题解决掉,也就相当于找到了在4维时空中计算距离的方法呢?

所以,我们就不如先一起来看看会出现什么问题吧。当然我们仍然是需要做简化,4维时空我们画不出来,所以就要简化成2维时空。在上一次我们已经明白了一件事情,那就是在时空图里面,直线的倾斜程度就代表着运动的速度。这可是非常关键的一点,速度可是分析相对论的关键,那么我们就可以看看从直线的倾斜程度中能发现什么问题吧。

不论是相对论还是经典的物理学,速度是相对的这一点是毫无疑问的,只不过相对论认为不只是速度是相对的,时间也是相对的。我们先来看看经典物理中,速度相对但是时间绝对时空图上画出来是什么样子吧。

假如在地球上有一棵树,它的速度改如何表示呢?到现在,你肯定不会张嘴就说树不会动,所以静止的。速度都是相对的,所以如果我们是在地面上观察它的话,那它是静止的;如果是在火车上,那它就是以火车的速度快速运动;如果是在飞机上,那就是以飞机的速度快速移动。把这种情况在时空图上画出来就是下面这个样子。

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在这个图上,大家应该也可以发现了,不论倾斜的角度如何变化,它们的时间总是不变的,这也是经典时空认为的情况。从图上我们一下子就可以看出问题所在了,那就是不论相对于哪一个参考系,时间都是不变的,所以这些线条的终点会沿着一条水平直线变化。可是这条直线缺和代表光速的那个45度斜线相交在一起。也就是说会出现图上红线的那一种情况。假如有一个飞船,它是以⅔倍光速进行飞行,去看另一个飞船,这个飞船速度也是⅔倍光速,只不过速度相反。那么看到的结果一定是会超过光速的。这个和光速不变这个大前提发生了冲突。

既然在这里是有问题的,那么我们就可以去看看是不是可以尝试去解决一下。所以很自然就会想到前面说过的,在相对论观点下,4维时空里面的任何物体的速度都是光速,只不过是静止的时候,速度全部分配到了时间轴上,所以这个时候时间流逝最快。如果运动起来的话,速度还会被空间速度分走一些,这样时间流逝的速度就慢下来了。那我们是不是可以按照这个规律,类似地把速度相对性在时空图上画出来呢?

我们可以试试看,不过在此之前我们需要先假设一下时间轴和空间轴它们会如何分配光速。我们可以先做一个最简单的假设,就是时间轴的速度+空间轴的速度=光速。为了方便画在二维时空图上,因为在时空图上坐标表示的都是距离,所以我们还需要在等式的两边同时乘以四维时空中的固有时间,最后的结果就是:在时间轴上的距离+在空间轴上的距离=光速×固有时间。根据这个等式,我们可以把上面的各种相对运动的情况再画一遍,就是下面这个图左边的样子。

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绿线仍然是我们在地面上看到的这颗大树的情况,是相对静止的,所以在空间轴上的距离是0,光速×固有时间全部分配在了时间轴上。那接下来,在火车上和飞机上去看,大树是相对运动的,而且火车的速度比飞机慢,所以在时间轴上分配的距离多,而在空间轴上分配的距离少。如果有一些高中解析几何的基础的话,一下就知道,蓝线和橙线它们的终点是在一条直线上变化的,而且这条直线一定是会和光锥的那一条垂直相交。所以,仍然会有超光速的情况出现的。

到这里,可能你已经开始觉得奇怪了,为什么不论是时间轴的速度还是空间轴的速度,明明都是从光速中分出去的,最后速度仍然是会超光速呢?如果你有这样的想法,那你是又一次把4维时空的速度和3维空间中的速度搞混了,刚才那种分配光速的方法,只能保证4维时空的固有速度不会超过光速,但是在3维空间中的速度仍然是可能会超过光速。

3维空间的速度是什么?无非就是空间距离除以时间,所以改变速度是可以由两个方面来控制的,既可以通过改变空间距离也可以通过改变时间。按照上面的分配方法,给空间分配更多的距离是可以增加3维空间的速度。如果3维空间的速度只是由这一项控制的话,那么它永远也不可能超过光速。可是3维空间的速度是空间轴上的距离除以时间轴上的距离,时间轴上分配的少了也会让3维空间的速度变快。所以前面的那种分配方法,会同时既让空间轴分配更多又让时间轴分配更少,最后的结果就是,在双重增加的情况下,就有可能出现超光速的情况。

其实不只是这种分配方法,还可以看一下刚才那个图的右边这种情况,它其实使用勾股定理的方式进行分配,也就是 (在时间轴上的距离)²+ (在空间轴上的距离)²=(光速×固有时间)²。这在时空图上画出来,参考系的变化是按照圆形曲线进行移动的,仍然是会和光锥相交,也就是说仍然是会出现超光速的情况。那么也就代表了这样分配方式还是不行的。

到现在我们就需要去想想看,是不是有什么方法可以让我们构造出一种曲线,永远不和光锥相交。而且,我们还可以从光速的分配方式去考虑一下,前面提到的分配方式中,不论是那种,空间轴和时间轴都是相加的关系,这就代表了空间轴上分配的增加一定会带来时间轴上分配的减少,这两种变化都会造成3维空间中的速度增加。那是不是可以考虑,把空间轴和时间轴变成相减的关系,这样为了保证等式的成立,空间轴上分配增加了,时间轴上也会分配增加,不过这两个变化一个会造成3维空间速度增加,另一个则是减少,这样的话就会出现相互抵消的情况,那是不是就能够构造出永远不超光速的情况呢?

考虑到这里啊,其实已经有思路了,最后这样的曲线真的被找到了,它是下面这个样子。时间轴和空间轴的关系是: (在时间轴上的距离)² - (在空间轴上的距离)²= (光速×固有时间)²。这是一组双曲线,这种曲线的特点就是会无限接近光锥,但是永远不会和它相交。下面这个图就是双曲线的一边。

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于是,到现在终于我们找到了在4维时空中可以正确分配光速的方法了。原来,在4维时空中,同样的一组事件在不同参考系下去观察,它们是沿着一条双曲线进行变化的,并不是我们直觉中想象的直线或是圆形。其实找到了这样一个关系,也就找到了我们一开始时的答案了,你注意到这种分配方式公式的右边,也就是光速×固有时间,这个不就是4维时空中的固有距离吗?也就是说,在4维时空中,计算固有距离的方法是下面这个图上的样子,当然因为画不出来4维的情况所以还是省略一个空间维度,是3维时空图。

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从这里我们也可以明白,并不像一开始设想的那种简单的情况,在4维时空中仍然符合勾股定理,所以两点之间直线是最短路径就不再是正确的了。其实,我们看一下固有长度的公式就会发现,在这种规则下反而是走直线的距离最长。那我们在看会双生子佯谬的时空图,小天是走的折线,小地走的是直线,所以小天走过的固有距离更短,也就是说小天花费的固有时间更少,当然也就说明了他用来记录年龄的时钟就走的更慢了。

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可能你还会想,这是以小地的视角来看的,当然就是小地静止走直线,小天走的是折线了。可是,如果以小天的视角去观察,那岂不就是小天是静止的走的是直线吗?这个问题其实很简单,有刚才那样的想法,只是有一些盲区你没有考虑到,只要看下面这个图就会马上明白了。即使以小天的视角去观察,仍然是小天走折线,小地走直线。因为小天在中途会有改变动作的方向,所以在时空图中仍然是两端线段,小地没有改变方向仍然是直线。这也是去解决双生子佯谬的关键,并不是去看哪一个静止哪一个运动,而是看是哪一个会发生运动的改变。做出改变的那一个花费的时间就短,因为在时空图上必然走出了一个折线,固有距离比直线要短。

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讲到这里,应该已经接近了双生子佯谬的大部分问题了。这两期内容,我们其实一起从几何学上了解了狭义相对论的本质。在这方面做出最大贡献的是爱因斯坦在瑞士苏黎世联邦理工学院的数学老师闵可夫斯基,这个直线距离最长的奇异4维时空就是他最先提出的,所以这个空间也叫作闵可夫斯基空间。不过很可惜他去世的太早了,狭义相对论提出没有多久,1909年就去世了,当时只有45岁。在去世之前他还说“在发展相对论的年代里死掉,真是太可惜了”。如果他还在世的话,或许广义相对论可以更早的提出,因为广义相对论的基础就是闵可夫斯基的4维时空。

好了,今天的内容就讲到这里了。不用数学语言去描述这个问题,真的是有挺大的挑战的,不论是整理思路还是画图都花了不少的时间和精力。总体我也是比较满意的,我觉得该讲的几乎都讲到了。虽然难免会造成描述上的不严谨,不能像数学语言一样简练,但是逻辑还是比较清晰和完整,没有因为难以描述就跳过一些必要的内容。


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